[2015년 가좌고]

[1학년 2학기 중간]

집합에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.4점]

②

[eqn: ㄱ]. [eqn: A= left{ EMPTYSET right]이면 [eqn: n(A)=0]이다.

[eqn: ㄴ]. [eqn: n(left{2right})-n(left{1right})=1]

[eqn: ㄷ]. 집합 [eqn: B]에 대하여 [eqn: n(B)=n( EMPTYSET)]이면 [eqn: B= EMPTYSET]이다.

① [eqn: ㄴ]	② [eqn: ㄷ]	③ [eqn: ㄱ], [eqn: ㄴ]	④ [eqn: ㄱ], [eqn: ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ], [eqn: ㄴ], [eqn: ㄷ]

집합 [eqn: A=left{ EMPTYSET,```0,```left{0right},```left{1right}right]에 대하여 옳지 않은 것은? [3.3점]

④

① [eqn: EMPTYSET INA]	② [eqn: left{1right} in A]	③ [eqn: left{(0)right} SUBSETA]

④ [eqn: left{0,```1right} subset A]	⑤ [eqn: LEFT{0,```LEFT{1right}right} subsetA]

함수의 그래프가 될 수 없는 것은? [3.4점]

①

①		②		③
④		⑤

명제 ‘어떤 학생은 축구와 농구를 좋아하지 않는다.’의 부정으로 옳은 것은? [3.5점]

②

① 모든 학생은 축구와 농구를 좋아한다.

② 모든 학생은 축구 또는 농구를 좋아한다.

③ 축구 또는 농구를 좋아하는 학생이 있다.

④ 축구와 농구를 좋아하지 않는 학생이 있다.

⑤ 어떤 학생은 축구 또는 농구를 좋아하지 않는다.

--

두 함수 [eqn: f(x)=3x+2], [eqn: g(x)=ax+1]에 대하여 [eqn: f CIRCg=g circf]가 성립할 때, [eqn: g(1)]의 값은? [3.6점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

유리함수 [eqn: y={1}over{x+1} +3]의 그래프에 대한 설명 중 옳지 않은 것은? [3.7점]

④

① 치역은 [eqn: left{y`|`y !=3 인```실수right]

② 정의역은 [eqn: left{x`|`x !=-1인 ~실수right}]

③ 제[eqn: 4]사분면을 지나지 않는다.

④ 그래프는 점 [eqn: (1,```3)]에 대하여 대칭이다.

⑤ 함수 [eqn: y={1}overx]의 그래프를 평행이동하면 일치한다.

전체집합 [eqn: U]에서의 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라고 하자. 두 명제 [eqn: q -> SIM p], [eqn: simq->simr]가 모두 참일 때, 항상 옳은 것은?

①

① [eqn: R SUBSET P^c]	② [eqn: P SUBSET Q]	③ [eqn: Q SUBSET R^c]

④ [eqn: Q^c SUBSET P]	⑤ [eqn: P^c SUBSET R]

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: (A CUP B) ^{c} CUP (A ^{c} SMALLINTER B)=(A CUP B) SMALLINTER (A ^{c} SMALLINTER B ^c )]
이 성립할 때, 항상 옳은 것은? [3.8점]

③

① [eqn: A=B]	② [eqn: A SUBSET B]	③ [eqn: A=U]

④ [eqn: B SUBSET A^c]	⑤ [eqn: B=U]

명제의 역이 참인 것은? (단, [eqn: x], [eqn: y], [eqn: a], [eqn: b]는 실수) [3.9점]

⑤

① [eqn: x GE2]이면 [eqn: x>1]이다.

② [eqn: x=y]이면 [eqn: x^2 =y^2]이다.

③ [eqn: a<b<0]이면 [eqn: a^2 > b^2]이다.

④ [eqn: -1 le x le 2]이면 [eqn: -2 le x le 4]이다.

⑤ [eqn: |a|+|b| ge |a+b|]이면 [eqn: ab le 0]이다.

두 집합 [eqn: X=left{-1,```3,```5 right}]에서 [eqn: X]로의 함수들이 있을 때, 항등함수의 개수를 [eqn: a], 상수함수의 개수를 [eqn: b], 일대일 대응의 개수를 [eqn: c]라 할 때, 상수 [eqn: a+b+c]의 값은? [3.9점]

②

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 29]	⑤ [eqn: 31]

세 함수 [eqn: {cases{`f(x)=x-1&```(0 LEQ x LEQ 1)#`g(x)=|x|&```(-1 LEQ x LEQ 1)#`h(x)=x ^{2}&```(-1 LEQ x LEQ 2)}}]에 대하여, 합성함수가 정의되지 않는 것은? [4.0점]

⑤

① [eqn: f CIRC g]	② [eqn: g circ f]	③ [eqn: h circ f]

④ [eqn: h circ g]	⑤ [eqn: g circ h]

실수 [eqn: x]에 대하여 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]이 [eqn: p:a-1 le x le 2a],
[eqn: q: x^2 -x-2 le 0], [eqn: r:|x|<b]이다. [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건, [eqn: r]이 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M], 정수 [eqn: b]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [4.0점]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)= cases{-x &```(x ge-1)#x^2 +2x+2& ```(x< -1)]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.1점]

①

[eqn: ㄱ]. [eqn: f^-1 (2)=-2]

[eqn: ㄴ]. [eqn: (f circ f^-1 )(3)=-3]

[eqn: ㄷ.] [eqn: (f^-1 )^-1 (5) =5]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ], [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ], [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄴ], [eqn: ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ], [eqn: ㄴ], [eqn: ㄷ]

유리함수 [eqn: y={-2}over {x-1}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동하면 점 [eqn: (1,```k )]를 지난다. 이때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=x]의 그래프가 그림과 같다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x )]라 할 때, [eqn: (g circ f circ g)(e)]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: a]	② [eqn: b]	③ [eqn: c]

④ [eqn: d]	⑤ [eqn: e]

집합 [eqn: A]가 [eqn: U= left{x`|`x는~ 자연수 right]의 부분집합일 때, [eqn: (가)], [eqn: (나)] 두 조건을 만족시킨다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.3점]

⑤

(가) [eqn: 2IN A], [eqn: 4 IN A]

(나) [eqn: a IN A], [eqn: b in A]이면 [eqn: ab +a+b in A]이다.

[eqn: ㄱ]. [eqn: 8 in A]

[eqn: ㄴ]. [eqn: A]는 무한집합이다.

[eqn: ㄷ]. 집합 [eqn: A]에서 [eqn: 50] 이하의 원소의 개수는 [eqn: 7]개

이상이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄷ]	③ [eqn: ㄱ], [eqn: ㄴ]

④ [eqn: ㄴ], [eqn: ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ], [eqn: ㄴ], [eqn: ㄷ]

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`|`10```이하의```자연수 RIGHT }]의 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 [eqn: n(A)=6], [eqn: n(A-B)=3], [eqn: n(A-C)=1]이라 하자. 아래의 벤 다이어그램에서 색칠한 부분에 속하는 원소의 합의 최댓값은 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: 42]	② [eqn: 43]	③ [eqn: 46]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 49]

[eqn: a ^2`+`4b ^2 =8]을 만족시키는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: {(a+2b)(a-1)} over{ a^2 -2a +2}]의 최댓값을 [eqn: M], 그때의 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: {alpha beta} over M]의 값은? (단, [eqn: a>1]) [4.5점]

①

[eqn: {a+2b} over {a-1+ {1} over {a-1}}]에서

분자는 [eqn: a=2], [eqn: b=1]일 때 최대이고

분모는 [eqn: a=2]일 때 최소이므로

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 5over3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

서술형

두 집합 [eqn: A= left{(x,```y)`|`y=1 right}], [eqn: B=left{ (x,```y)`|`y=(a-1)x^2 +2x -a right}]에 대하여 [eqn: n(A SMALLINTERB)=1]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. (단, [eqn: x], [eqn: y]는 실수이다.) [7.0점]

[eqn: 0], [eqn: 1]

[eqn: D=0]일 때와 [eqn: a=1]일 때

명제 ‘두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: mn]이 홀수이면 [eqn: m]과 [eqn: n]은 모두 홀수이다.’를 증명하시오. [8.0점]

귀류법

[eqn: m]과 [eqn: n] 중 적어도 하나가 짝수이면 [eqn: mn]은 짝수이다.

함수 [eqn: f(-1)=1]를 만족하는 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: y=f(-2x+3)]의 역함수를 [eqn: h(x)]라 하자.

(1) [eqn: - {1} over {2} g(x)+ {3} over {2}]

(2) [eqn: 2]

(1) [eqn: h(x)]을 [eqn: g(x)]로 나타내고, 그 풀이과정을 서술하시오.

[6.0점]

(2) [eqn: h(1)]의 값을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. [2.0점]

유리함수 [eqn: y={cx+d} over{ ax+b}] [eqn: (ad-bc != 0,```a != 0)]의 그래프는
[eqn: y={q} over {x+p} +r] 꼴로 변형하여 그릴 수 있다. 이 때, [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]을
[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]로 표현하고, 그 풀이과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: p=- {b} over {a}], [eqn: q= {ad-bc} over {a ^{2}}], [eqn: r= {c} over {a}]

[eqn: {cx+d} over {ax+b} = {{c} over {a} x+ {d} over {a}} over {x+ {b} over {a}} = {c} over {a} + {{ad-bc} over {a ^{2}}} over {x+ {b} over {a}}]

[2015년 가좌고]

[1학년 2학기 중간]

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